sábado, 24 de noviembre de 2012

Introducción a la Matemática

LA MATEMÁTICA  ES EL EJE DEL UNIVERSO 

  

No se sabe a ciencia cierta, cuando se empezó a nombrar la matemática como tal, en un principio las nociones primitivas de número, magnitud y forma pueden haber estado relacionadas más bien con diferencias y contrastes que con semejanzas. Evidentemente nuestros antepasados contaban solo hasta dos, y cualquier conjunto que sobrepasara este nivel quedaba como "muchos", más tarde el hecho de contar con los dedos, es decir, de 5 en 5 (sistema quinario) ó de 10 en 10 (sistema decimal) desplazaba al sistema binario y ternario. Por esta razón, el estudio de las antiguas civilizaciones emprendieron la búsqueda de la verdad para poder sumergirse en el mundo del conocimiento.

¿Cuando nació la matemática?  Al ser  un producto del intelecto humano en el deseo de entender y predecir la realidad, la matemática está asociada en todo momento a cualquier cultura y sociedad. La aritmética y la geometría aparecen con la necesidad de contar y de medir en las transacciones comerciales, en las construcciones y en la medida del paso del tiempo. Se han encontrado marcas en huesos de hace más de 35000 años en el sur de Africa que parecen corresponder a una especie de "calendario de palitos". El hueso de Ishango, encontrado en el Zaire, datado como del 20000 aC, contiene unas marcas que representan ciertos patrones numéricos.




Los monumentos megalíticos tienen una disposición geométrica que muestra una previa planificación y diseño. Muchos de ellos tienen un patrón basados en ternas pitagóricas. Su geometría es también una especie de calendario astronómico ya que la alineación de la estructua señala, por ejemplo, los puntos donde salía el sol en el equinoccio de primavera u otros fenómenos astronómicos relevantes. El gran ejemplo de construcción megalítica relacionada con hechos astronómicos sea quizás el santuario de Stonehenge en Inglaterra o las pirámides mayas de la península del Yucatán.

                                      

Las ternas pitagóricas señaladas antes se relacionan claro está con el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras era también conocido por los babilonios y quizás por los egipcios, pero fue claramente utilizado en la matemáticas de la religión hindú de los vedas, que necesitaban construir los altares para sus ofrendas y sacrificios con gran precisión.


Babilonia muestra un gran desarrollo de la matemática. De la gran cantidad de tabletas cuneiformes que nos han llegado algunas de ellas son de contenido matemático. Resuelven problemas cotidianos aritméticos y geométricos, pero llegan a saber calcular raíces cuadradas con gran precisión y a resolver ecuaciones cuadráticas geométricamente. El desciframiento del cuneiforme, por el alemán G. F. Grotefend y sobretodo por el oficial inglés Henry Rawlison, marcan uno de los momentos más brillantes de la historia de la arqueología.


Egipto nos ha sorprendido siempre por sus colosales construcciones arquitectónicas. Su matemática, como no podía ser menos, está muy relacionada con las pirámides. En diversos papiros egipcios aparecen colecciones de problemas aritméticos y geométricos para repartirse bienes, para calcular el volumen de graneros en forma de pirámide truncada o para calcular áreas. Otro aspecto interesante fue el descubrimiento de la piedra de la Rosetta por la expedición de Napoleón en 1799, que permitió a Jean F. Champollion es desciframiento de la escritura  heroglífica poco después. 

                    

  

Matemática en la Pre- Historia: 
Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos. También se descubrieron artefactos arqueológicos en África y Francia, datados entre el 3500 y el 2000 a.C. que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.

Matemática Moderna:

La historia matemática del siglo XIX es inmensamente rica y fecunda. Demasiado como para ser abarcada en su totalidad dentro de la talla razonable de este artículo; aquí se presentan los puntos sobresalientes de los trabajos llevados a cabo durante este período.Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente.
Domina la cuestión del rigor, como se manifiesta en el «análisis matemático» con los trabajos de Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de la geometría), teoría de funciones y particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral al punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido notable éxito el siglo pasado. 

Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las matemáticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares, en este siglo, se convierten en profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente por el cálculo, o la explicación de la creación del sistema solar. 



¿Quizás te preguntes pero de qué sirven las matemáticas hoy?, He aquí que te complementamos nuestra explicación...                                                              





                                   
                                                            

ÁLGEBRA

El Álgebra

Es la rama de las matemáticas en la que se usan letras par representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.



Historia:


  • La palabra «álgebra», proviene del árabe y significa "reducción"
  • La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c)
  • Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática.
  • En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.
  • Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
  • Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas.
  • Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

La Geometría

Es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

Historia: 


  • Geometría viene del griego geo, (tierra) y  metrein, (medir).
  • El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. 
  • Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegosLa Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales –un rectángulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo, etc.– que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla y compás.
  • Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
Los grandes filósofos:



  • Pitágoras: 
    • Entre sus teoremas mas famosos  se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). 


  • Euclides:
    • La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

  • Apolonio de Perga:
    • Estudio la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

  • Arquimedes:
    • Hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo.




En la actualidad la geometria es muy importante para nuestro progreso, esto se puede apreciar en la disversas y complejas construcciones que hay a nuestro alrededor. La geometría es una ciencia esencial hoy en día, y lo utilizamos continuamente en nuestra vida diaria









viernes, 23 de noviembre de 2012

TRIGONOMETRÍA

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA 


Comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.



Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.


Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas


El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.


A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.


HISTORIA DE LA ARITMÉTICA


Origen
Los orígenes de la aritmética se pueden rastrear hasta los comienzos de la matemática misma, y de la ciencia en general. Los registros más antiguos datan de la edad de piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de conteo, de representación numérica y calendarios.


Edad antigua


Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental hacia 1800 a. C., gracias a transcripciones de caracteres cuneiformes sobre tablillas de barro cocido, referidas a problemas de geometría y astronomía. Solo se puede especular sobre los métodos utilizados para generar los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de temas pitagoricas , pero sin mostrar cómo se generó la lista.


Aritmética formal en la Antigua Grecia


La aritmética en la Grecia Antigua era considerada como el estudio de las propiedades de los números, y no incluía cálculos prácticos, los métodos operatorios eran considerados una ciencia aparte. Esta particularidad fue heredada a los europeos durante la Edad media , y no fue hasta el Renacimiento que la teoría de números y los métodos de cálculo comenzaron a considerarse 


Edad Media y Renacimiento europeo



El mayor progreso matemático de los griegos se dio entre los años 300 a.C y el 200 d.C. Después de esto los avances continuaron en regiones islámicas. Las matemáticas florecieron en particular en Irán, Siria e India. Si bien los descubrimientos no fueron tan sustanciales como los llevados a cabo por los matemáticos griegos, sí contribuyeron en gran medida a preservar sus obras originales. A partir del siglo XI,Adelardo de Bath y más adelante Fibonacci, introducen nuevamente en Europa esta matemática islámica y sus traducciones del griego. 

Civilizaciones precolombinas


Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de base vigesimal (base aritmética 20) para medir el tiempo y participar del comercio a larga distancia. Los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto del cero alrededor del año 36 a. C. Aunque poseían sistema de numeración, la ciencia maya y azteca estaba más enfocada en predecir el paso del tiempo, elaborar calendarios y pronosticar eventos astronómicos. 


Los incas se destacaron principalmente por su capacidad de cálculo para fines económicos y comerciales. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la administración incaica. Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva para fines contables; basada en un sistema decimal, conocieron el cero y dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.


Aritmética en China


La matemática china temprana es tan diferente a la de otras partes del mundo, que es razonable suponer que se desarrolló independientemente. 


De particular notoriedad es el uso de un sistema decimal posicional, la así llamada numeración con varillas, utilizada muchos siglos antes del sistema indoarábigo de numeración. El sistema de numeración con varillas permitía representar cantidades arbitrariamente grandes, y facilitaba el cálculo matemático con suanpan (o ábaco chino). La fecha de invención del "suan pan" es incierta, pero los registros escrito más antiguos que lo mencionan datan del año 190 a.C., en las «Notas Suplementarias en el arte de las Figuras», de Xu Yue.

Aritmética en la India: el cero y la notación posicional


La matemática hindú alcanzó su madurez durante los siglos I al VIII, con el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en Occidente, un sistema de numeración de base 10 (con diez dígitos). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal, este no era posicional, ni poseía el cero, el cual fue transmitido a occidente mucho más tarde por los árabes, que le llamaban hesab, a través de la España e Italia medievales.


Aritmética árabe


La matemática hindú, con el temprano desarrollo de la notación posicional y uso del cero, revistieron gran importancia en el progreso matemático posterior. Esta herencia fue recogida por los árabes, netamente con los trabajos de al-Jwarizmi y las primeras traducciones de textos griegos al árabe, incluyendo los Elementos de Euclides realizada por al-Hajjaj. En la Casa de la sabiduría los científicos y matemáticos tradujeron las obrasde Euclides, Diofanto,Menelao, Arquímedes, Ptolomeo, Apolonio entre otros clásicos de la ciencia griega. 


Tres distintos tipos de sistemas aritméticos se empleaban simultáneamente alrededor del siglo X: la aritmética por conteo con los dedos, con los numerales enteramente escritos en palabras, era el método empleado por la comunidad mercantil; el sexagesimal, con los numerales denotados por letras del alfabeto árabe, provenía de la matemática babilónica, y los matemáticos del islam lo usaron principalmente para el trabajo astronómico; el tercer sistema fue la aritmética de los numerales indios y las fracciones con valor posicional decimal.
























LINKOGRAFÍA

. www.wikipedia.com/matemática

.www.wikimedia.com/Geometría

.www.starmedia.com/Trigonometría

.http://www.sectormatematica.cl/

.http://www.disfrutalasmatematicas.com/

.http://cms.dm.uba.ar/

.http://www.imca.edu.pe/sitio/index.php

.http://www.icarito.cl/enciclopedia/segundo-ciclo-basico/matematica/100.html







Autor: Ricardo Delgado Chavarry